Problème d'optimisation

Une entreprise fabrique et vend deux types d'enceintes (de types A et B) à l'aide de deux machines.
La machine 1 ne peut fonctionner que 10 heures par jour et la machine 2 que 8 heures par jour.
On dispose des informations suivantes.

Enceinte de type A

• Sa fabrication nécessite 30 minutes dans la machine 1 et 15 minutes dans la machine 2.
  
• Son prix de vente est de 12 €.
  

Enceinte de type B

• Sa fabrication nécessite 30 minutes dans la machine 1 et une heure dans la machine 2.
  
• Son prix de vente est de 18 €.
  

L'entreprise cherche à maximiser son gain de production.

On appelle \(x\) le nombre d'enceintes de type A et \(y\) le nombre d'enceintes de type B fabriquées par jour, où \(x\) et \(y\) sont des entiers naturels.

1. Montrer que les données de l'énoncé se traduisent par les inéquations suivantes.

• \(x+y \leqslant 20\)
  
• \(0,25x + y \leqslant 8\)
  

2. Sur GeoGebra, tracer les droites d'équations :

• \(x=0\)
  
• \(y=0\)
  
• \(x+y -40 = 0\)
  
• \(0,25x+y-8 = 0\)
  

3. Montrer que le chiffre d'affaires journalier \(\text C\), en euros, vérifie \(\text C = 12x + 18y\).

4. Créer un curseur \(c\) allant 0 à 15 avec un pas de 1, puis la droite d'équation

5. Donner deux productions permettant de réaliser un chiffre d'affaires journalier de 180 €.

6. Quelle production l'entreprise doit-elle réaliser pour que le chiffre d'affaires soit maximal ? 
Quel est alors ce chiffre d'affaires ?